結論から言って、小口現金をなくすことはできません。
会社には様々な取引が発生しますからね。

ここでは、いかに小口現金からの支払を少なくするかを考えてみます。

【改善できる】

１．社員が立替えた費用の精算
経費精算システムでの精算金の支払方法を振込だけにする。

私の会社では、電子帳簿保存法対応で経費精算システムを導入しました。
このタイミングで「システムが振込しか対応していない仕様だから」という社内への説明で振り込みでの精算一本化にしました。本当は現金か振込か希望する決済方法を選択できる機能があることは内緒です。

２．社員への賞金
永年勤続のお祝い金や会社表彰で金一封などは、給与支給と一緒に支払うことで現金支給は避けられます。それに所得税法では、給与課税対象としなくてはなりませんので、給与支給に変更することは理にかなっています。

３．代金着払い
ネットで購入の際には会社クレジットカードで決済してもらう。

４．両替の対応
対応しない方針にする。会社も金種用意するために銀行への両替手数料発生してしまいますからね。

【改善は難しい】

５．社員や取引先の慶事弔事に参列するために持参するお祝い金や香典
あとで振り込みますから、なんて言って手ぶらで参加するわけにはいきませんよね。

６．採用面接に訪れた候補者への交通費
支給する方針の会社さんでは、これも現金支給からは逃れられません。

７．当社製品の不良によるお客さんからの着払い返品運賃
だいたいクレーム関係なので、従うしかないですね。

こんなところでしょうか。
精算者の理解と他部署からの協力がカギですね。